Zuerst die Hefe mit dem Zucker und der Milch gut vermischen, bis sie sich vollständig aufgelöst hat.
Anschließend alle restlichen Zutaten hinzufügen und mit den Knethaken einer Küchenmaschine oder eines Handrührgerätes mindestens 10 Minuten zu einem weichen, geschmeidigen Hefeteig verkneten.
Den Teig auf eine bemehlte Arbeitsfläche geben und zu einer glatten Kugel formen. Der Teig ist sehr weich, das ist richtig so. Wenn er stark klebt, einfach noch etwas mehr Mehl auf die Arbeitsfläche geben und den Teig mit viel Liebe formen. :-)
Die Rührschüssel einfetten und den Hefeteig darin abgedeckt an einem warmen Ort ca. 45 Minuten aufgehen lassen, bis er sich ungefähr verdoppelt hat.
Danach den Teig auf eine bemehlte Arbeitsfläche geben und in 12 gleichschwere Portionen teilen. Die Marillenmarmelade mit dem Rum vermischen und eine Auflaufform mit etwas Butter einfetten.
Anschließend die Teiglinge flach drücken, jeweils einen bis eineinhalb Teelöffel der Marmelade darauf geben und mit dem Teig umschließen.
Die Teigkugeln in die vorbereitete Form geben und noch einmal abgedeckt an einem warmen Ort ca. 20 Minuten aufgehen lassen.
Den Backofen auf 170°C Ober-/Unterhitze vorheizen. Ein Ei mit 30 g zerlassener Butter verquirlen und die Teiglinge großzügig damit bestreichen.
Die Buchteln für ca. 30 Minuten im vorgeheizten Backofen backen und noch warm mit der selbstgemachten Vanillesauce genießen.